les maths ...

[Reorian]

Donc R possède une infinité de nombre mais c'est un infini beaucoup plus grand que l'infinité de nombre qui vivent dans l'ensemble N ? Donc au final, il y a bien des infinis plus grands que d'autres ?

C'est exactement ça

[D@ny]

D'acc, c'est fascinant !

D'ailleurs à la fin de la vidéo ils disent que R n'est pas l'ensemble le plus grand, sans approfondir plus que ça, mais qu'est-ce qui peut être plus grand que R qui contient déjà tous les autres ensembles ?

[Reorian]

C (les nombres complexes), n'est plus un ensemble de nombres que l'on peut placer sur une droite, mais il faut un plan (ce sont des nombres à deux composantes). Du coup pour chaque membre de R, on peut lui associer un 2e membre de R. Il y a une infinité (de la taille de R) de nombres appartenant à C et correspondant à chaque membre de R.
Dans la même lignée, on peut imaginer les nombres à 3 dimensions, 4, etc. Au delà de 2, c'est très peu utilisé, mais on peut réfléchir dessus, et jusque là toutes les maths même les plus tordues ont toujours trouvé une utilité dans la vie réelle.

[D@ny]

Ah oui, les fameux nombres complexes.
C'est dommage qu'il n'y ait pas plus de documentaire de vulgarisation de ce genre, ça permettrait d'attirer plus les jeunes vers les maths.

Surtout quand on voit que la France risque d'être en manque de prof de maths à la rentrée : https://www.liberation.fr/societe/educa ... MOEG4B5D4/

[Kikoho]

Tiens, un sujet sur les mathématiques, et plus précisément sur l'infini. Je ne peux pas m'empêcher d'y répondre même si j'arrive après la bataille. Je n'ai pas regardé la vidéo, mais j'ai quand même quelques précisions à apporter concernant certains posts ici.
Tout d'abord, en maths, la notion d'infini se réfère à plusieurs notions assez éloignées les unes des autres. Notamment, j'ai pu voir deux notions différentes qui ne doivent donc pas être confondues:
- l'infini ensembliste, qui mesure la taille d'ensemble donnés. Par exemple, savoir que les ensembles N, Z et même Q (l'ensemble des nombres rationnels, ou fractions) ont la même taille puisqu'on peut associer leurs éléments deux par deux, mais que R est plus grand. Cette notion relève de la Théorie des Ensembles, inventée par Georg Cantor à la fin du XIXème siècle, mais dont les prémisses se trouvent chez Galilée.
- l'infini des limites (une fonction qui tend vers l'infini par exemple), qui relève de la théorie des fonctions de variable réelle et des suites de nombres réels. Dans ce cas, l'infini (+oo et -oo) sont des éléments ajoutés à l'ensemble des nombres réels, qui ne sont pas des nombres (notamment, une fonction n'a pas de valeur en l'infini, et on ne peut pas a priori effectuer les opérations usuelles avec ces éléments). Ils ne permettent pas de compter les éléments d'ensembles infinis, puisqu'ils n'ont rien à voir avec la notion précédente.

Sinon, quelques remarques concernant des posts en particulier:

Et est-ce qu'il existe des cas où il est impossible de créer cette "bijection" ? Ca voudrait dire qu'un ensemble serait plus grand que l'autre ?

Oui c'est possible. Par exemple (comme on t'a répondu) si l'un est plus grand que l'autre. Mais aussi si ces ensembles ne sont pas comparables entre eux. En fait, on peut démontrer que deux ensembles sont toujours comparables (on peut toujours dire lequel est le plus grand, ou qu'ils sont de même taille) en utilisant l'axiome du choix, qui dit en gros qu'on peut effectuer une infinité de choix simultanément. Mais cet axiome, totalement indépendant des autres, n'est pas accepté par certains mathématiciens, notamment car il permet de définir des objets extrêmement contre-intuitifs.

Une autre vidéo de la série nous dit même que les nombres transcendants sont infiniment plus nombreux que les irrationnels non transcendants, eux-mêmes infiniment plus nombreux que les rationnels.

La deuxième comparaison est fausse. Les nombres non transcendants (on les appelle nombres algébriques) sont aussi nombreux que les nombres rationnels ou les nombres entiers. La démonstration est un peu compliquée et repose sur la définition des nombres algébriques.
D'ailleurs, si cette assertion était vraie, elle contredirait l'hypothèse du continu qui dit qu'il n'y a pas d'infini intermédiaire entre les nombres entiers et les nombres réels. Or, cette hypothèse n'est ni démontrable, ni réfutable.
Mais ce qui est intéressant avec ces considérations, c'est qu'elles permettent de démontrer l'existence de nombres transcendants très facilement (l'infini des nombres algébriques est plus petit que celui des nombres réels, donc il existe des nombres réels qui ne sont pas algébriques, c'est-à-dire transcendants), alors que construire un nombre transcendant est assez difficile, et démontrer qu'un nombre en particulier (comme par exemple pi) l'est encore plus.

mais qu'est-ce qui peut être plus grand que R qui contient déjà tous les autres ensembles ?

Alors, R ne contient pas tous les ensembles. Un ensemble, ça peut être pas mal de choses. Très intuitivement, un ensemble est une collection d'objets, par exemple le plan euclidien (celui de la géométrie) n'est pas contenu dans R, et n'est pas un élément de R.
D'une manière générale, étant donné un ensemble, l'ensemble de ses parties (des ensembles contenus dans le premier ensemble) est un ensemble strictement plus grand. On peut donc définir des ensembles de plus en plus grands, à l'infini.
De manière plus concrète, l'ensemble des fonctions de variable réelle est strictement plus grand que R.

C (les nombres complexes), n'est plus un ensemble de nombres que l'on peut placer sur une droite, mais il faut un plan (ce sont des nombres à deux composantes). Du coup pour chaque membre de R, on peut lui associer un 2e membre de R. Il y a une infinité (de la taille de R) de nombres appartenant à C et correspondant à chaque membre de R.
Dans la même lignée, on peut imaginer les nombres à 3 dimensions, 4, etc.

Les deux parties en gras sont fausses.
1) C a la même taille que R. Par définition, on peut assimiler C à l'ensemble des couples ordonnés de nombres réels, noté R². Or, on peut montrer que R et R² font la même taille (c'est en fait un cas particulier d'un résultat plus général de théorie des ensembles).
2) On peut imaginer des "nombres" à 1, 2 ou 4 dimensions, mais pas d'autres dimensions. Il s'agit d'un théorème de Frobenius. Après vérification, il semblerait cependant qu'on puisse en définir en dimension infinie. Si on s'en tient à la dimension 4, on définit les quaternions de Hamilton, dont l'ensemble est noté H. Dans H, la multiplication cesse d'être commutative, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel on effectue la multiplication compte. Pour les autres dimensions, on ne peut pas conserver les 4 opérations. On peut néanmoins définir des structures intéressantes, notamment en dimension 8 avec les octaves de Cayley.

Surtout quand on voit que la France risque d'être en manque de prof de maths à la rentrée

Je ne suis pas certain qu'on manque de tant de profs de maths que cela. Certes, les concours sont loin de faire le plein (c'est à la fois un euphémisme et une litote), mais d'une part, le nombre de postes ouverts ne semble pas vraiment refléter la baisse des besoins de profs de maths induite par la réforme du lycée (où les maths deviennent optionnelles en filière générale, ce qui conduit à des suppressions de postes). Par ailleurs, la réforme des concours enseignants s'applique à partir de cette année, où on demande dorénavant d'avoir bac+5 pour se présenter, au lieu de bac+4, ce qui diminue mathématiquement le nombre de candidats. Ce deuxième facteur sera vraisemblablement atténué les prochaines années. Enfin, la baisse des heures d'enseignement en lycée pro pourra amener des profs de lep à enseigner au collège pour pallier les manques d'effectifs.

[Reorian]

Même après la bataille, merci beaucoup pour ces précisions. Tu dépasses mon cercle de compétence, et on dirait aussi celui des auteurs des vidéos Arte. C'est intéressant à suivre

Est-ce que la seule dénombrabilité suffit à dire que les ensembles ont la même taille (p.ex. les nombres rationnels et algébriques)?

[Kikoho]

De rien
En fait, on considère que la bonne manière de comparer des ensembles, c'est avec les fonctions bijectives, injectives ou surjectives.
S'il y a une fonction bijective entre deux ensembles, ces deux ensembles ont la même taille, ou plus précisément le même cardinal. S'il y a une fonction injective d'un ensemble dans un autre, le premier est plus petit ou de même taille. S'il existe une fonction surjective, le premier ensemble est plus grand ou de même taille.
Par exemple comme l'ensemble des entiers relatifs est inclus dans celui des réels, on a une fonction injective : il suffit de considérer chaque nombre entier comme un nombre réel. Inversement, il existe une fonction surjective des réels vers les entiers relatifs : il suffit de prendre la partie entière.
Sinon, "dénombrable" signifie "en bijection avec N. Le dénombrable est le plus petit infini.

Mais il y a d'autres manières d'évaluer la taille d'ensembles, par exemple la théorie de la mesure, qui généralise la notion d'aire ou de volume.

[D@ny]

Newton était physicien, mais apparemment il a façonné tout un domaine des mathématiques. C'est cool tout ce qu'on apprend dans ces mini documentaires !

https://youtu.be/NsYxAZPmWho

Je ne suis pas certain qu'on manque de tant de profs de maths que cela. Certes, les concours sont loin de faire le plein (c'est à la fois un euphémisme et une litote), mais d'une part, le nombre de postes ouverts ne semble pas vraiment refléter la baisse des besoins de profs de maths induite par la réforme du lycée (où les maths deviennent optionnelles en filière générale, ce qui conduit à des suppressions de postes). Par ailleurs, la réforme des concours enseignants s'applique à partir de cette année, où on demande dorénavant d'avoir bac+5 pour se présenter, au lieu de bac+4, ce qui diminue mathématiquement le nombre de candidats. Ce deuxième facteur sera vraisemblablement atténué les prochaines années. Enfin, la baisse des heures d'enseignement en lycée pro pourra amener des profs de lep à enseigner au collège pour pallier les manques d'effectifs.

Il manque quand même pas mal de prof, surtout en maths qui est une discipline qui n'attire pas.

Les salaires sont pas assez attractifs, avec peu d'évolution de carrière - problèmes de communication dans l'ensemble de la fonction publique.
Pour un métier qui embauche à bac+5 (ce qui est bête), il faudrait une augmentation d'environ 20% globalement pour redevenir attractif.

Dans certaines académies, notamment en IDF, il est pratiquement impossible de changer de région, ce qui freine complètement le recrutement. Personne ne veut s'impliquer car ils savent qu'il faudra au moins 20 ans pour aller dans une autre région. Du coup, les postes contractuels sont devenus paradoxalement plus intéressants car ils permettent d'être embauché n'importe où.

Upload du topic :

J'édite mon dernier message pour demander quelque chose à propos des maths.

L'histoire, c'est que je discutais récemment avec un ami qui pense que les maths ne sont pas une science (comme la physique, la chimie, etc.), mais plutôt un langage. Pour lui, les mathématiques ne rentrent pas dans le champ des sciences, car c'est une discipline qui n'est pas expérimentale (point sur lequel j'ai eu du mal à le contredire) et qu'elle n'a donc aucune prétention vis-à-vis du réel contrairement aux autres sciences.
J'ai tout de même essayé de lui rappeler qu'il existe une méthode scientifique en mathématiques, mais je n'ai pas réussi à lui faire entendre raison.

Vu qu'on a la chance d'avoir sur le forum quelques personnes qualifiées en maths, je voudrais leur demander ce qu'ils pensent de ce propos ? Déjà, est-ce qu'on peut trouver un aspect expérimental en maths comme dans d'autres sciences ?

[RMR]

Moi, perso, je suis pas qualifié de quoi que ce soit, mais à l'instinct, je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas faire des expériences mathématiques. Si je veux vérifier par l'expérience que 1+1=2, je prends un sac vide, je prends une seule bille, je la mets dans le sac, je reprends encore une seule bille, je la mets aussi dans le sac, je vide le sac et je compte combien de billes il y avait dedans.

[niicfromlozane]

Vous avez tous les deux raison, parce qu'il y a bien une distinction entre ce qu'il appelle des sciences et les maths. C'est juste un problème de nomenclature

Le truc, c'est que les mathématiques se distinguent effectivement des "sciences expérimentales". C'est pour cela qu'on dit d'elle que c'est une "science exacte".

La différence fondamentale, c'est que :
en maths, tout est faux par principe ; tu dois prouver que quelque chose est vrai pour que ce soit admis
en sciences expérimentales, tout est vrai par principe ; tu dois prouver que quelque chose est faux pour le réfuter

Voilà pour ma contribution

[D@ny]

Moi, perso, je suis pas qualifié de quoi que ce soit, mais à l'instinct, je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas faire des expériences mathématiques. Si je veux vérifier par l'expérience que 1+1=2, je prends un sac vide, je prends une seule bille, je la mets dans le sac, je reprends encore une seule bille, je la mets aussi dans le sac, je vide le sac et je compte combien de billes il y avait dedans.

Oui ? Mais je sais pas si ça serait un argument très convaincant, parce que les nombres, c'est juste une notation. On aurait pu par exemple représenter l'unité (la quantité un) par la notation 2 et deux unités par la notation 3 ?

Finalement, 1+1=2 c'est vrai par définition ?

[niicfromlozane]

Finalement, 1+1=2 c'est vrai par définition ?

Oui, c'est un axiome (donc une "définition"). Ou plus concrètement la résultante d'un axiome qui veut que tout nombre ait un successeur.

[RMR]

Moi, perso, je suis pas qualifié de quoi que ce soit, mais à l'instinct, je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas faire des expériences mathématiques. Si je veux vérifier par l'expérience que 1+1=2, je prends un sac vide, je prends une seule bille, je la mets dans le sac, je reprends encore une seule bille, je la mets aussi dans le sac, je vide le sac et je compte combien de billes il y avait dedans.

Oui ? Mais je sais pas si ça serait un argument très convaincant, parce que les nombres, c'est juste une notation. On aurait pu par exemple représenter l'unité (la quantité un) par la notation 2 et deux unités par la notation 3 ?

Finalement, 1+1=2 c'est vrai par définition ?

Ce sont les mots qui te gênent ? Je peux dire la même chose avec des doigts. Avec des objets. Avec des clignements d'œil. N'importe quoi que je peux faire à l'unité. Je peux expérimenter la chose sans la nommer. Ça n'en reste pas moins des mathématiques, et je peux faire des expériences avec.

Et si on part sur "c'est juste une notation", alors quand je mélange deux moles de dihydrogène avec une mole de dioxygène, je n'obtiens deux moles d'eau que parce qu'on a bien voulu appeler ça de l'eau. Si on avait appelé l'eau du mercure depuis toujours, alors ça donnerait deux moles de mercure. Ça veut dire que c'est vrai uniquement par définition et qu'on peut pas expérimenter en chimie ? Faut bien nommer les trucs, c'est quand même plus pratique et n'enlève rien aux réalités que ça recouvre. En ça, je ne vois pas en quoi les maths sont différents.

Si on appelle un "deux" et deux "trois", comme tu proposes, ben 2+2=3, et je peux l'expérimenter. Je met "deux" bille dans le sac (on notera l'absence de "s" à "bille"), puis encore "deux" bille dans le sac, et quand je vide le sac, j'en ai "trois". C'est exactement la même expérimentation qu'avant, j'ai pu expérimenter tout pareil et arriver à la même conclusion. 2+2=3, c'est ce que je disais tout à l'heure mais en français classique, en disant 1+1=2.

[niicfromlozane]

En fait, le simple fait qu'il existe différents système de notation des chiffres tend à démontrer ça, puisque I + I = II en chiffres romains, tout simplement.

Ca rejoint Descartes : les concepts mathématiques n'existent pas. Un triangle, ça n'existe pas. C'est un concept abstrait, et on a simplement un référentiel commun pour communiquer autour (ce qui rend impossible une tromperie du malin génie en ce qui concerne les réflexions mathématiques, mais bref...)

Le concept d'unité est le même quelle que soit la notation qu'on utilise ; ce qui est important, c'est que l'émetteur et le récepteur aient le même référentiel pour représenter cette abstraction, le reste importe peu

D'ailleurs, si on écrivait "1 +1 = 2" à un mathématicien grec antique, il en comprendrait pas, puisqu'il n'aurait jamais vu cette notation


Un truc que j'aime bien, dans l'esprit du sujet, c'est cet extrait de la planète des singes (le livre) où le héros est pris pour un animal par les singes. Incapable de communiquer avec eux car il ne parle pas leur langue, il leur prouve son intelligence en traçant une représentation géométrique de l'égalité de Pythagore dans le sable de sa cage ; car si les chiffres nécessitent un référentiel, il n'en va pas de même pour les représentations géométriques, qui sont universelles

[RMR]

Mais je ne comprends pas pourquoi ça ferait des mathématiques une discipline "pas expérimentale" comme le disait Dany, et en quoi c'est différent du fait qu'on nomme aussi de façon arbitraire les choses dans les autres disciplines. Le concept d'eau est le même quelle que soit la notation qu'on utilise, qu'on l'appelle eau, H2O, mercure ou zbradaraldjan ; ce qui est important, c'est que l'émetteur et le récepteur aient le même référentiel pour représenter cet objet lorsqu'ils décrivent la réaction chimique, le reste importe peu.