les maths ...

[D@ny]

https://youtu.be/o79bss3Hc60

La seule chose qui m'a marqué dans ce beau documentaire : "il y a des infinis plus grands que d'autres" (5 min)

Boom, mon cerveau part en feux d'artifices !

[RMR]

Le mien, il a fait pschit de déception.



Arte ne semble pas vouloir que des gens au Japon puissent visionner cette vidéo. Certainement qu'elle contient des secrets compromettant pour les intérêts nationaux de la France et de l'Allemagne... Pas envie de télécharger un VPN juste pour ça, tant pis. Et désolé pour le hors-sujet.

[D@ny]

Essaie ça : https://www.arte.tv/fr/videos/097454-00 ... des-maths/

[RMR]

(Mais merci quand même.)

[niicfromlozane]

le principe évoqué par Dany est suffisamment fascinant, lorsque tu le découvres, pour me donner envie de l'expliciter :

En gros prenons deux ensembles de nombres : N (les nombres entiers positifs aka 1 ; 2 ; 3 ; etc...) et Z (nombres entiers positifs et négatifs, aka 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 etc...)

Ensuite, on va associer en paires les nombres des deux ensemble selon la règle suivante :
A chaque nombre impaire de N, on va faire correspondre un nombre positif de Z, et à chaque nombre paire de N, on associe un nombre négatif de Z. Ca donnerait ca :

1 -> 1
2 -> -1
3 -> 2
4 -> -2
5 -> 3
6 -> -3

On constate que la série de N comporte "moins" de ressources que celle de Z. C'est assez intuitif. La conclusion, c'est que lorsque l'on tend vers l'infini, l'ensemble de Z est "plus grand" que celui de N, car il a la possibilité de comporter plus d'éléments. On considère donc que l'infini de Z est "plus grand" que celui de N

Bon là je fais l'explication intuitive, mais il existe des outils qui permettent de vraiment montrer que certains infinis sont plus grands que d'autres, via la notion d'appariement

J'avais adoré le sujet, avant les videos YT il y avait un Que-sais-je ? sur le sujet vachement bien foutu !

[RMR]

Ah, okay. C'est comme les courbes vers l'infini. Les courbes Y=X et Y=2X, quand on prend X à l'infini, elles montent toutes deux à l'infini, mais y en a une qui "pèse" deux fois plus lourd que l'autre (elle monte deux fois plus vite vers l'infini). Deux infinis peuvent ne pas se valoir, l'infini n'étant pas une valeur fixe.

Merci Niicfromlozane !

(J'vais faire fuiter l'info au Japon, Arte sera bien baisé, mwa ha ha ha ha !)

[Reorian]

le principe évoqué par Dany est suffisamment fascinant, lorsque tu le découvres, pour me donner envie de l'expliciter :

En gros prenons deux ensembles de nombres : N (les nombres entiers positifs aka 1 ; 2 ; 3 ; etc...) et Z (nombres entiers positifs et négatifs, aka 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 etc...)

Ensuite, on va associer en paires les nombres des deux ensemble selon la règle suivante :
A chaque nombre impaire de N, on va faire correspondre un nombre positif de Z, et à chaque nombre paire de N, on associe un nombre négatif de Z. Ca donnerait ca :

1 -> 1
2 -> -1
3 -> 2
4 -> -2
5 -> 3
6 -> -3

On constate que la série de N comporte "moins" de ressources que celle de Z. C'est assez intuitif. La conclusion, c'est que lorsque l'on tend vers l'infini, l'ensemble de Z est "plus grand" que celui de N, car il a la possibilité de comporter plus d'éléments. On considère donc que l'infini de Z est "plus grand" que celui de N

Bon là je fais l'explication intuitive, mais il existe des outils qui permettent de vraiment montrer que certains infinis sont plus grands que d'autres, via la notion d'appariement

J'avais adoré le sujet, avant les videos YT il y avait un Que-sais-je ? sur le sujet vachement bien foutu !

Oui mais non^^
C'est un peu l'idée, mais tu ne prends pas un bon exemple. Aussi peu intuitif que ça puisse paraître, N et Z sont des infinis de même taille. On pourrait effectivement se dire que dans Z, on a non seulement N (tous les entiers positifs), mais qu'en plus on rajoute tous les entiers négatifs. Mais avec les infinis, c'est plus subtil que ça.
Dans la vidéo d'Arte, on montre comme exemple qu'il existe autant d'entiers pairs que d'entiers tout court (alors même qu'on rajoute les impairs).
Pour N et Z, ça semblerait évident que Z est plus grand si on se limite à un nombre fixe. P.ex. il y a plus d'entiers entre -1000 et 1000 que entre 0 et 1000. Mais en fait on peut créer une bijection entre N et Z, autrement dit montrer qu'il y a autant d'éléments dans N que dans Z, c'est précisément ce que tu as fait dans ton association!

Par contre R est un ensemble non dénombrable, et donc en fait un infini plus grand que N (ou Z). C'est ce que montre la vidéo Arte, il y a plus de nombres entre 0 et 1 que d'entiers jusqu'à l'infini.

Pour répondre à RMR, si tu regardes ça sous l'angle des fonctions, avec f(x)=x et g(x)=2x, si x tend vers l'infini, g/f tend vers 2 et non pas vers l'infini, ce n'est pas infiniment plus grand, mais juste deux fois plus grand, tu n'as pas deux infinis réellement différents. Si tu veux un rapport infini, tu prends p.ex. (2^x)/x. Quand x tend vers l'infini, 2^x et x tendent tous les deux vers l'infini, mais 2^x de manière infiniment plus vite, du coup le rapport est infini^^

[RMR]

ce n'est pas infiniment plus grand, mais juste deux fois plus grand

C'est pour ça que je disais qu'elle pèse deux fois plus lourd. Même à l'infini, on ne peut pas intervertir les deux fonctions comme si c'était la même sous prétexte qu'elles font toutes deux l'infini. C'est avec ce genre de raisonnement qu'on arrive à du "1=2", en s'amusant à considérer que tout infini est interchangeable. Du coup, je ne comprends pas pourquoi tu dis que ce n'est pas "réellement" différent. Si ça ne peut pas s'intervertir, c'est différent, réellement.

[Reorian]

"peser deux fois plus lourd", ça ne veut pas dire être un infini deux fois plus grand. Ça n'a rien à voir avec 1=2, qui sont deux nombres bien finis et distincts.
Par contre si tu fais un tableau dans lequel tu calcules toutes les valeurs de f(x) et g(x), alors tu passes très facilement de l'un à l'autre par une opération. Autrement dit tu crées facilement une bijection entre l'ensemble des images de f et l'ensemble des images de g.
Tu passes de f à g en multipliant par deux, et inversement en divisant par deux.
Les valeurs prises par les images pour les deux fonctions sont différentes, mais la taille des infinis est rigoureusement la même.

[RMR]

Mais je n'ai pas dit le contraire. Par contre, elles ont beau avoir la même "taille" (pour ce que ça signifie à l'infini), elles n'ont pas le même "comportement", elles sont rigoureusement différentes, ne se valent pas, ne sont pas interchangeables. Relis ma première intervention sur le sujet, tu verras que je ne parle jamais de leur taille et que je ne dis jamais que l'une est deux fois plus grand que l'autre. Je dis uniquement que l'une "pèse" deux fois plus lourd (le rapport de l'une comparée à l'autre est de deux, et divisé par la valeur x elle-même l'une vaut 1 quand l'autre vaut 2, l'une aurait deux fois plus d'influence dans une opération complexe que l'autre) et que l'une monte deux fois plus vite (et j'ai pas prétendu qu'elle montait infiniment plus vite). Bref, je mets une pièce sur une méprise.

[Axaca]

°

[D@ny]

C'est bien complexe tout ça.

Mais en fait on peut créer une bijection entre N et Z, autrement dit montrer qu'il y a autant d'éléments dans N que dans Z, c'est précisément ce que tu as fait dans ton association!

Et est-ce qu'il existe des cas où il est impossible de créer cette "bijection" ? Ca voudrait dire qu'un ensemble serait plus grand que l'autre ?

[Reorian]

Oui, entre R et N p.ex. R n'est pas dénombrable, et la vidéo montre qu'il est infiniment plus grand. Une autre vidéo de la série nous dit même que les nombres transcendants sont infiniment plus nombreux que les irrationnels non transcendants, eux-mêmes infiniment plus nombreux que les rationnels.

Bref, je mets une pièce sur une méprise.

Certainement. Mais dans ce cas je n'ai pas compris le rapport avec le sujet actuel (taille des infinis). Tu parlais sans doute plutôt de limites (d'une fonction quand x tend vers l'infini).

[RMR]

Je peux pas voir la vidéo, je ne sais pas de quoi elle parle et je suis intervenu directement après Niicfromlozane, il n'y avait pas encore de "sujet actuel".

[D@ny]

Oui, entre R et N p.ex. R n'est pas dénombrable, et la vidéo montre qu'il est infiniment plus grand. Une autre vidéo de la série nous dit même que les nombres transcendants sont infiniment plus nombreux que les irrationnels, eux-mêmes infiniment plus nombreux que les rationnels.

Donc R possède une infinité de nombre mais c'est un infini beaucoup plus grand que l'infinité de nombre qui vivent dans l'ensemble N ? Donc au final, il y a bien des infinis plus grands que d'autres ?