niicfromlozane a écrit:le principe évoqué par Dany est suffisamment fascinant, lorsque tu le découvres, pour me donner envie de l'expliciter :
En gros prenons deux ensembles de nombres : N (les nombres entiers positifs aka 1 ; 2 ; 3 ; etc...) et Z (nombres entiers positifs et négatifs, aka 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 etc...)
Ensuite, on va associer en paires les nombres des deux ensemble selon la règle suivante :
A chaque nombre impaire de N, on va faire correspondre un nombre positif de Z, et à chaque nombre paire de N, on associe un nombre négatif de Z. Ca donnerait ca :
1 -> 1
2 -> -1
3 -> 2
4 -> -2
5 -> 3
6 -> -3
On constate que la série de N comporte "moins" de ressources que celle de Z. C'est assez intuitif. La conclusion, c'est que lorsque l'on tend vers l'infini, l'ensemble de Z est "plus grand" que celui de N, car il a la possibilité de comporter plus d'éléments. On considère donc que l'infini de Z est "plus grand" que celui de N
Bon là je fais l'explication intuitive, mais il existe des outils qui permettent de vraiment montrer que certains infinis sont plus grands que d'autres, via la notion d'appariement
J'avais adoré le sujet, avant les videos YT il y avait un Que-sais-je ? sur le sujet vachement bien foutu !
Oui mais non^^
C'est un peu l'idée, mais tu ne prends pas un bon exemple. Aussi peu intuitif que ça puisse paraître, N et Z sont des infinis de même taille. On pourrait effectivement se dire que dans Z, on a non seulement N (tous les entiers positifs), mais qu'en plus on rajoute tous les entiers négatifs. Mais avec les infinis, c'est plus subtil que ça.
Dans la vidéo d'Arte, on montre comme exemple qu'il existe autant d'entiers pairs que d'entiers tout court (alors même qu'on rajoute les impairs).
Pour N et Z, ça semblerait évident que Z est plus grand si on se limite à un nombre fixe. P.ex. il y a plus d'entiers entre -1000 et 1000 que entre 0 et 1000. Mais en fait on peut créer une bijection entre N et Z, autrement dit montrer qu'il y a autant d'éléments dans N que dans Z, c'est précisément ce que tu as fait dans ton association!
Par contre R est un ensemble non dénombrable, et donc en fait un infini plus grand que N (ou Z). C'est ce que montre la vidéo Arte, il y a plus de nombres entre 0 et 1 que d'entiers jusqu'à l'infini.
Pour répondre à RMR, si tu regardes ça sous l'angle des fonctions, avec f(x)=x et g(x)=2x, si x tend vers l'infini, g/f tend vers 2 et non pas vers l'infini, ce n'est pas infiniment plus grand, mais juste deux fois plus grand, tu n'as pas deux infinis réellement différents. Si tu veux un rapport infini, tu prends p.ex. (2^x)/x. Quand x tend vers l'infini, 2^x et x tendent tous les deux vers l'infini, mais 2^x de manière infiniment plus vite, du coup le rapport est infini^^